PDA

Orijinalini görmek için tıklayınız : Arılar Ve Çokgenler


elif
12-12-2011, 09:20
Arılar Ve Çokgenler

Arı peteğinin ilginç mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yanyana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm’dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.

Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.

Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1′de gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):

N (180 – 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6′dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez. Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6′dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3′te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4). Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.
http://img695.imageshack.us/img695/4849/peteklerforumdasnet.jpg
Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999′da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı. 1999′da ispatını ancak yapabildiğimiz bir çözümü, arıların milyonlarca yıldır şaşırmadan Sevk-i İlâhî ile uygulamaları, Allah’ın ilhâmından başka ne olabilir ki… Şâyet arıların petek inşa teknikleri ilk yaratıldıkları dönemden bu yana evrimleşerek gelseydi, fosil kayıtlarında, altıgen dışında başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi. Halbuki başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır. Bizzat Charles Darwin bal peteğini, işçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır.

Bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diğer kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir eğim açısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964′te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035′lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.

Araştırmacılar, Toth’un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth’un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü. Deney, arılara en ideal şeklin ilham edildiğini teyit etmekteydi.


Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ

SAFFFET
26-03-2013, 06:50
bu ne biçim bi site

The Santixhs Bela
27-03-2013, 06:01
Yardımcı oldu Teşekkürler :D

Walkinq!
16-05-2013, 09:25
Çok yardımcı oldu Ellerine sağlk Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ
Bunun hepsini yazdım biraz yorucu ama değer ;)

Misafir
18-11-2013, 07:17
güzel

Misafir
03-12-2013, 09:49
çok teşşekkürler benim ödevime çok yardımcı oldu

Misafir
15-12-2013, 12:31
Sağolun çok yardımcı oldunuz teşekkürler Alah Razı Olsun....

Misafir
15-12-2013, 12:32
Sağolun

Misafir
17-12-2013, 05:42
Bu ne böyle yaa ne biçim site :d

Misafir
08-01-2014, 06:21
teşekürler faydası oldu

Misafir
02-02-2014, 02:27
güzel :D

Misafir
07-02-2014, 02:29
çok teşekkür edrim çok yardımcı oldunuz beğenmiyenlerin bu sayfada işi yok bence ellerinize sağlık inşallah 100 puan alırım

Misafir
07-02-2014, 05:11
çook güzel teşekkürler

Misafir
10-03-2014, 08:28
GüZel... xd

Misafir
19-03-2014, 10:16
çok sağolun yaaaa

Misafir
11-04-2014, 03:56
Gerçekten çok beğendim bu sırada daha çok görsel olsaydı sevinirdim :)

ZeynepNurr
11-04-2014, 04:19
Güzel bilgiler :)

Misafir
25-04-2014, 03:54
Güzel amam 10 sayfa sürmesi gerek benim
İçin

Misafir
27-04-2014, 06:23
Çok güzel olmuş sağolun.
beğenmeyenlerde beğenmesin garadaş.
saolun.

Misafir
03-05-2014, 11:50
Çok teşekkür ederim. Çok güzel bir site sayenizde 100 aldım.. :)

Misafir
04-05-2014, 02:05
çok güzel bir site bana yardımcı oldu

Misafir
04-05-2014, 03:14
çok sağoL

Misafir
05-05-2014, 05:24
çok güzel olmuş çok beğendm :)

Misafir
06-05-2014, 11:05
çok güzeldi ödevden 90 aldım allah razı olsun

Misafir
07-05-2014, 06:53
Sagolun ya çok güzel ama çok uzun keşke biraz kısa olsaydı ama deger çok güzel yüz alırım inşalllah sagolun :d

Misafir
13-05-2014, 09:22
gerçektende yararlı :)

assdadasdas
15-05-2014, 06:00
proje ödevim son güne bıraktım şimdi 2 saat bununla uğraşacağım
bu aradaa cok yardımcı oldunuz teşekkkürlerrr <3 :D

Misafir
19-05-2014, 06:00
hepsini yazdım biraz yorucu oldu ama değdi çok sağolun

Misafir
19-05-2014, 06:09
çok iyisiniz işime çok yaradı teşekür ederim

Misafir
26-05-2014, 05:17
çok işime yaradı

Kayıtsız Üye
15-03-2015, 10:39
sagolun biraz uzun ama isime yaradı cok teşekkür ederim

site hayranı
16-03-2015, 06:13
heyyy sana sesleniyorum ne demek bu ne biçim site
site beğenmek için girdiysen bu siteye kusura bakma ama yanlış yere gelmişsin

sonsuza dek
18-03-2015, 06:20
çok iyisiniz yaaaa biraz uzun ama deydi gerçekten:):):):)

Misafir
05-04-2015, 03:10
çok yardımcı oldu sağolun :)

Misafir
06-04-2015, 06:26
gerçekten yardımınız için sağolun hepsi uzundu ama teşekkürler

Misafir
15-04-2015, 05:02
Proje ödevime yardımcı oldu teşekkürler

Misafir
18-04-2015, 06:18
matematik projesi için gerekliydi çok yardımcı oldunuz teşekkürler

Misafir
18-04-2015, 07:13
çok olmasada.iyi.yani

Misafir
13-05-2015, 03:20
cok yardimci oldu cok tsk. edrim hepinize :D

Misafir
16-05-2015, 02:37
Yardımcı olmadınız yinede teşşurler

Misafir
07-01-2016, 04:25
Biz üç arkadaş bu ödevi yaptık . Yardımcı olduğunuz için gerçekten çok teşekkür ederiz .Ben Nalan arkadaşlarım Gözde ve Bahar size minnettarız .

Misafir
13-04-2016, 09:36
Bu site çok güzel. Elif hanım bu konuda sizi tebrik ederim.

Misafir
28-04-2016, 07:21
Gerçekten çok güzelmş ama keşke biraz daha uzun olsaymış.

Misafir
15-05-2016, 11:16
Diğerlerine göre daha kısa saolun çok işime yaradı