Merkez Limit Teoremi konu anlatımı

ebush · 27-05-2013, 09:32

Merkez Limit Teoremi konu anlatımı-Merkez Limit Teoremi hakkında bilgi

Merkezi limit teoremine göre büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenler (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss-tipi dağılım ve çan şekilli dağılım) gösterir. Matemetik biçimsel bir ifade ile

bir merkezi limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi

birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir.

Pratik gerçekte birçok anakütle

sonlu varyans gösteren dağılımlar ortaya çıkardıkları için

bu teorem normal olasılık dağılımının önemini açığa çıkartır.
Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu

Lyapunov koşulu

Gnedenko durumu ve Kolmogorov durumu) sonlu varyans gösterme için mutlaka aynı dağılım gerekmemektedir.

Tarihçe

Tijms (2004

p.169) yazdığına göre:
Merkezi limit teoreminin tarihi gelişmesi çok enterasandır. Bu teoremin ilk şekli Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından 1733'te yayınlanarak gayet dikkati çeken bir yazıda bulunmakta ve bu yazıda bir yansız madeni paranın yazı-tura atış sonuçların da kaç defa yazı gelme sayısının dağılımının bir normal dağılım ile yaklaşık olarak açıklanabileceğini ortaya çıkartmıştır. Bu gelişme zamanı için çok zor görünüp nerdeyse unutulmuştur. Bu unutulmuş konu tanınmış Fransız matematikçisi Pierre-Simon Laplace'ın 1812'de yayınladığı çok tanınmış eseri Thoerie Analytique des Probabilites (Olasılıklar İçin Analitik Kuram)'da yeniden ortaya çıkarılmıştır; Laplace

De Moivre'in buluşunu daha da geliştirerek binom dağılımlarının yaklaşık olarak normal dağılım ile ifade edilip hesaplanabileceği sonucunu ortaya atmıştır. Ancak De Moivre gibi Laplace gelişmeleri de yaşadığı çağda çok az dikkati çekmiştir. Sonunda 19. yüzyılın içinde merkezi limit teoreminin önemi anlaşılmış ve 1901 Rus matematikçisi Aleksandr Lyapunov bu teoremi genel bir şekilde açıklamış ve matematik olarak nasıl ortaya çıktığını çok kesin bir şekilde ispatlamıştır. Bugün merkezi limit teoremi olasılık kuramının en önemli ögesi

gayriresmi kralı

olduğu kabul edilmektedir."

Klasik merkezi limit teoremi

Merkezi limit teoremi olasılık kuramı için ikinci temel teorem olarak kabul edilmektedir. (Birinci temel teorem büyük sayılar yasasıdır.) Eğer X1

X2

X3

... n tane bağımsız ve aynı şekilde sonlu sayıda ve μ ortalaması ve σ2 varyansı olan dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Merkezi limit teoremine göre örneklem büyüklüğü n artış gösterdikce

orijinal dağılım her ne şekilde olursa olsun

limitte örneklem ortalamasının dağılımı

ortalaması μ ve varyansı &sigma2/n olan

bir normal dağılıma yakinsanma gösterir.

Rassal değişkenlerin Sn ile ifade edilen toplamı şöyle verilsin:
Sn = X1 + ... + Xn ve

bir standart normal μ ortalamalı ve

varyanslı standart normal dağılım olsun.
Bu yakınsama teoremine göre limitte n-->∞

S'nin dağılımı olan Zn dağılımı N(0

1) standart normal dağılımına yaklaşır.

Bu demektir ki; eğer Φ(z) N(0

1) dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu ise o halde her z reel sayısı için

veya

olur. Burada

örneklem ortalaması olur.
Yillarca

büyük örneklem hacmi pratik olarak n>29 olarak kabul edilmekteydi. Fakat 1990li yıllarda yapılan araştırmalar ortaya çıkarmıştır ki bu pratik kural her zaman geçerli değildir. Eğer anakitle dağılımı çok çarpıklık gösteriyorsa Merkezi Limit Teoreminin geçerli olduğu büyükbüyük örneklem hacminin gittikce daha büyük olması gerekmektedir. Bu şekilde çarpıklık gösteren anakütleler pratikte çok nadir bulunabilirler. Bu pratik kurala dayanan ve çıkarımsal istatistik için kullanılan Student t dağılımı tablolari ancak n=30 verilmektedir ama simulasyon ve kompüter animasyon ile gösterilmiştir ki Student t dağılımı tabloları için seçilen en yüksek örneklem hacmi olan n>29 yeterli büyüklükte değildir.

Merkezi limit teoreminin ispatı

Olasılık kuramı ve istatistik bilimleri için temel onem taşıyan bu "merkezi limit teoremi"'nin isbatı karakteristik fonksiyonu kullanarak kolayca yapılabilir. Bu isbat zayif büyük sayılar yasasını isbat etmek icin kullanılan yonteme çok benzemektedir.

Herhangi

ortalaması 0 varyansı birim olan

bir rassal degişken Y (yani E(Y)=0 ve var(Y)=1) alalım; Taylor teoremi kullanılarak Y icin karekteristik fonksiyonun şu oldugu bilinir:

Burada t2 ifadesinden daha hızla 0a yaklaşan herhangi bir t için :o (t2 ) --> 0 olur. YiXi standardize edilmiş degeri yani (Xi − μ)/σ olarak koyalım. Bu halde X1

X2

...

Xn ifadesini gozlem noktalarının standardize edilmiş ortalaması

olur. Karekteristik fonksiyonun basit nitekliklerine dayanarak

Zn için karekteristik fonksiyonun

oldugu çıkartılır. Bu limit ise acıkca N(0

1) standart normal dagılımı icin karekteristik fonksiyondur ve merkezi limit teoremi

karekteristik fonksiyonların yakınsalamasının dagılımın yakınsalamasina eşit oldugunu bildiren Levy sureklilik teoremi kullanarak isbat edilmiş olur.

Limite yakınsalama

Eger uçuncu merkezsel moment E((X1 − μ)3) bulunuyorsa ve sonlu ise

yukarida açiklanan yakinsalasma Berry-Eseen teoremi ile yakinsalasma hizi asgari 1/n½ olur. Yakinsalasma normali monotoniktir yani Zn'nin enformasyon entropisi bir normal dagilim entropisine monotonik olarak yakinsalasir.

Bir dagilimin toplama ile "duzgunlestirilmesi" için grafikler orijinal olasilik dagilim fonksiyonu ve diger uc (dagilim fonksiyonlarin konvolusyonu ile elde edilen) toplama için su grafiklerde gorulur:

Merkezi limit teoreminin bir grafiksel temsili bir anakutlenin rassal ortalamalarinin grafigi ile gosterilebilir. Bir An alalim ve bu bir rassal orneklem icin orneklem ortalamasi ve herbir orneklemden tek bir rassal degisken de Xn olsun:

An = (X1 + ... + Xn) / n

1den verilen bir orneklem hacmine kadar An ifadesini bulalim

A1 = (X1) / 1
A2 = (X1 + X2)/ 2
A3 = (X1 + X2 + X3)/3

Merkezi limit teoremi için ortalamalari orneklem hacmi 90a kadar yani 30 nokta olarak gosterilmesi gerekir. Eger An

Zn = (An − μ) / (σ / n½)

kullanılarak standartize edilirse

yukarıda verilen Zn degiskeninin aynısı ortaya cıkar ve bu bir standart normal dagılımına yakınsanır.

Merkezi Limit teoremi sonlu sayıda gozlemler için bir tahmin olarak kullanılmasi gerek bu sayılar normal dagılımın zirvesi etrafında toplanırsa iyi sonuçdur; dagılımın kuyruklarında olan gozlemler icin bu tahminin yeterince dogru olması icin cok sayıda gozlem elde edilmesi gerekir.

Merkezi Limit Teoremi ozellikle bagımsız ve aynen dagılım gosteren ayrık rassal degiskenler için uygulanır. Ayrık rassal degisken icin bir toplama ile elede edilen degerde bir ayrık rassal degiskendir ve boylece bir seri ayrık rassal degisken icin tek tek yigmalı olasılık dagılım fonksiyonu bir surekli degisken için bir yıgmalı olasılık dagılım fonksiyonua (yani normal dagılıma) yakınsalasır.

Bu demektir ki eger n sayida bagimsiz ve ozdes ayrik degiskenlerin toplaminin gerceklesmelerinin bir histogramini kurarsak

histogrami sekillendiren dikdortgenlerin yukari yuzlerinin merkezlerini birlestiren egri

n

degerine yakinsalastikca

bir Gauss-tipi can egrisine gittikce benzemeye baslar. Basit sadece iki deger alan bir ayrik degiskeni iceren binom dagilimi gosterdigi simule edilen bir halde bile bu merkezi limit teoremi uygulandigi gorulebilir.

Büyük sayılar yasasına ilişkisi

Hem büyük sayılar yasası hem de Merkzi Limit Teoremi daha genel bir problemin kismi cozumleri olmalarai cok olasidir. Bu genel problem soyle ifade edilebilir: "Eger n sosuz degerre yakinsamaktaysa Sn ifadesinin yakinsama davranisi ne olur?". Matematik analizde bu cesit sorulara yaklasmak icin en populer matematik arac asimtotik seriler konumuna dayanir.

f(n) fonsksiyonunun asimtotik genisletilmesin su oldugunu kabul edelim:

Bu ifadenin her iki tarafini da

ile bolersek ve limit alirsak

en f(n) fonksiyonunun en bastaki terimin degisme haddini temsil eden

genisletilmenin en yuksek-siradaki katsayisi olan a1 ifadesini uretiriz:

Formel olmadan bu soyle aciklanabilir: "fonksiyon ile onu yyakalsik olarak ifadenin arasindaki fark

haddinde buyur". Bu kavramin ana sonucu soyledir: fonksiyonu uygun bir yaklasik veren normalize eden fonksiyonlar ile bolersek ve bu sonucun limitteki davranisina bakarsak

bu netice orijinal fonksiyonun limitteki davranisi hakkinda epeyce cok aciklama yapar.

Sn ifadesinin klasik olasilik teoride incelenmesinde de ayni usulk aciklama yapilmaktadir. Belirli duzenleme kosullari altinda

egere ξ ifadesi N(0

σ2) olarak dagilim gosterirse

hem Buyuk Sayilar Yasasi yani

hem de Merkezi Limit Teoremi yani

su formel olmayan ifadenin ilk iki sabitlerinin degerelerini vereiler:

Eger X1

X2

X3

... bagimsiz ve ozdes ifadeler ise ve belli bir

ifadesi gecerli ise

o zaman

olur ve boylece

sifir olmayan limitleyici davranisi temin eden bir normalize etme fonksiyonu hizmetini goren n nin en yuksek ussu olur. "Takrarlanan logaritma yasasi" ise cok ilgi cekici olarak

normalize edici fonksiyonun

Buyuk Sayilar Yasasi icin n ile Merkezi Limit Teoremi icin

ifadeleri arasinda oldugunu bildirir ve bu iki teorem ifadesi de bu degerin iki tarafinda bulunan limitleri gosterir demektedir.

Seçenekler
Yazdırılabilir şekli göster Sayfayı E-Mail olarak gönder
Stil
Normal Hybrid-Şeklinde gösterime geç Ağaç şeklinde gösterime geç

Benzer Konular
Konu	Konuyu Başlatan	Forum	Cevap	Son Mesaj
Ses konu anlatımı	ebush	Eğitim ve Öğretim	0	22-05-2013 09:43
Pisagor teoremi konu anlatımı	ebush	Eğitim ve Öğretim	0	18-05-2013 04:19
İvme konu anlatımı-Hız değişimi konu anlatımı	ebush	Eğitim ve Öğretim	0	17-05-2013 12:34
Çekim ekleri konu anlatımı-Yapım ekleri konu anlatımı	ebush	Eğitim ve Öğretim	0	14-05-2013 12:22
Açıortay Teoremi Konu Anlatımı	elif	Matematik	0	11-02-2012 03:42

27-05-2013, 09:32	#1 (permalink)
ebush	Merkez Limit Teoremi konu anlatımı Merkez Limit Teoremi konu anlatımı-Merkez Limit Teoremi hakkında bilgi Merkezi limit teoremine göre büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenler (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss-tipi dağılım ve çan şekilli dağılım) gösterir. Matemetik biçimsel bir ifade ile bir merkezi limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir. Pratik gerçekte birçok anakütle sonlu varyans gösteren dağılımlar ortaya çıkardıkları için bu teorem normal olasılık dağılımının önemini açığa çıkartır. Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu Lyapunov koşulu Gnedenko durumu ve Kolmogorov durumu) sonlu varyans gösterme için mutlaka aynı dağılım gerekmemektedir. Tarihçe Tijms (2004 p.169) yazdığına göre: Merkezi limit teoreminin tarihi gelişmesi çok enterasandır. Bu teoremin ilk şekli Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından 1733'te yayınlanarak gayet dikkati çeken bir yazıda bulunmakta ve bu yazıda bir yansız madeni paranın yazı-tura atış sonuçların da kaç defa yazı gelme sayısının dağılımının bir normal dağılım ile yaklaşık olarak açıklanabileceğini ortaya çıkartmıştır. Bu gelişme zamanı için çok zor görünüp nerdeyse unutulmuştur. Bu unutulmuş konu tanınmış Fransız matematikçisi Pierre-Simon Laplace'ın 1812'de yayınladığı çok tanınmış eseri Thoerie Analytique des Probabilites (Olasılıklar İçin Analitik Kuram)'da yeniden ortaya çıkarılmıştır; Laplace De Moivre'in buluşunu daha da geliştirerek binom dağılımlarının yaklaşık olarak normal dağılım ile ifade edilip hesaplanabileceği sonucunu ortaya atmıştır. Ancak De Moivre gibi Laplace gelişmeleri de yaşadığı çağda çok az dikkati çekmiştir. Sonunda 19. yüzyılın içinde merkezi limit teoreminin önemi anlaşılmış ve 1901 Rus matematikçisi Aleksandr Lyapunov bu teoremi genel bir şekilde açıklamış ve matematik olarak nasıl ortaya çıktığını çok kesin bir şekilde ispatlamıştır. Bugün merkezi limit teoremi olasılık kuramının en önemli ögesi gayriresmi kralı olduğu kabul edilmektedir." Klasik merkezi limit teoremi Merkezi limit teoremi olasılık kuramı için ikinci temel teorem olarak kabul edilmektedir. (Birinci temel teorem büyük sayılar yasasıdır.) Eğer X1 X2 X3 ... n tane bağımsız ve aynı şekilde sonlu sayıda ve μ ortalaması ve σ2 varyansı olan dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Merkezi limit teoremine göre örneklem büyüklüğü n artış gösterdikce orijinal dağılım her ne şekilde olursa olsun limitte örneklem ortalamasının dağılımı ortalaması μ ve varyansı &sigma2/n olan bir normal dağılıma yakinsanma gösterir. Rassal değişkenlerin Sn ile ifade edilen toplamı şöyle verilsin: Sn = X1 + ... + Xn ve bir standart normal μ ortalamalı ve varyanslı standart normal dağılım olsun. Bu yakınsama teoremine göre limitte n-->∞ S'nin dağılımı olan Zn dağılımı N(01) standart normal dağılımına yaklaşır. Bu demektir ki; eğer Φ(z) N(01) dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu ise o halde her z reel sayısı için veya olur. Burada örneklem ortalaması olur. Yillarca büyük örneklem hacmi pratik olarak n>29 olarak kabul edilmekteydi. Fakat 1990li yıllarda yapılan araştırmalar ortaya çıkarmıştır ki bu pratik kural her zaman geçerli değildir. Eğer anakitle dağılımı çok çarpıklık gösteriyorsa Merkezi Limit Teoreminin geçerli olduğu büyükbüyük örneklem hacminin gittikce daha büyük olması gerekmektedir. Bu şekilde çarpıklık gösteren anakütleler pratikte çok nadir bulunabilirler. Bu pratik kurala dayanan ve çıkarımsal istatistik için kullanılan Student t dağılımı tablolari ancak n=30 verilmektedir ama simulasyon ve kompüter animasyon ile gösterilmiştir ki Student t dağılımı tabloları için seçilen en yüksek örneklem hacmi olan n>29 yeterli büyüklükte değildir. Merkezi limit teoreminin ispatı Olasılık kuramı ve istatistik bilimleri için temel onem taşıyan bu "merkezi limit teoremi"'nin isbatı karakteristik fonksiyonu kullanarak kolayca yapılabilir. Bu isbat zayif büyük sayılar yasasını isbat etmek icin kullanılan yonteme çok benzemektedir. Herhangi ortalaması 0 varyansı birim olan bir rassal degişken Y (yani E(Y)=0 ve var(Y)=1) alalım; Taylor teoremi kullanılarak Y icin karekteristik fonksiyonun şu oldugu bilinir: Burada t2 ifadesinden daha hızla 0a yaklaşan herhangi bir t için :o (t2 ) --> 0 olur. YiXi standardize edilmiş degeri yani (Xi − μ)/σ olarak koyalım. Bu halde X1 X2 ... Xn ifadesini gozlem noktalarının standardize edilmiş ortalaması olur. Karekteristik fonksiyonun basit nitekliklerine dayanarak Zn için karekteristik fonksiyonun oldugu çıkartılır. Bu limit ise acıkca N(01) standart normal dagılımı icin karekteristik fonksiyondur ve merkezi limit teoremi karekteristik fonksiyonların yakınsalamasının dagılımın yakınsalamasina eşit oldugunu bildiren Levy sureklilik teoremi kullanarak isbat edilmiş olur. Limite yakınsalama Eger uçuncu merkezsel moment E((X1 − μ)3) bulunuyorsa ve sonlu ise yukarida açiklanan yakinsalasma Berry-Eseen teoremi ile yakinsalasma hizi asgari 1/n½ olur. Yakinsalasma normali monotoniktir yani Zn'nin enformasyon entropisi bir normal dagilim entropisine monotonik olarak yakinsalasir. Bir dagilimin toplama ile "duzgunlestirilmesi" için grafikler orijinal olasilik dagilim fonksiyonu ve diger uc (dagilim fonksiyonlarin konvolusyonu ile elde edilen) toplama için su grafiklerde gorulur: Merkezi limit teoreminin bir grafiksel temsili bir anakutlenin rassal ortalamalarinin grafigi ile gosterilebilir. Bir An alalim ve bu bir rassal orneklem icin orneklem ortalamasi ve herbir orneklemden tek bir rassal degisken de Xn olsun: An = (X1 + ... + Xn) / n 1den verilen bir orneklem hacmine kadar An ifadesini bulalim A1 = (X1) / 1 A2 = (X1 + X2)/ 2 A3 = (X1 + X2 + X3)/3 Merkezi limit teoremi için ortalamalari orneklem hacmi 90a kadar yani 30 nokta olarak gosterilmesi gerekir. Eger An Zn = (An − μ) / (σ / n½) kullanılarak standartize edilirse yukarıda verilen Zn degiskeninin aynısı ortaya cıkar ve bu bir standart normal dagılımına yakınsanır. Merkezi Limit teoremi sonlu sayıda gozlemler için bir tahmin olarak kullanılmasi gerek bu sayılar normal dagılımın zirvesi etrafında toplanırsa iyi sonuçdur; dagılımın kuyruklarında olan gozlemler icin bu tahminin yeterince dogru olması icin cok sayıda gozlem elde edilmesi gerekir. Merkezi Limit Teoremi ozellikle bagımsız ve aynen dagılım gosteren ayrık rassal degiskenler için uygulanır. Ayrık rassal degisken icin bir toplama ile elede edilen degerde bir ayrık rassal degiskendir ve boylece bir seri ayrık rassal degisken icin tek tek yigmalı olasılık dagılım fonksiyonu bir surekli degisken için bir yıgmalı olasılık dagılım fonksiyonua (yani normal dagılıma) yakınsalasır. Bu demektir ki eger n sayida bagimsiz ve ozdes ayrik degiskenlerin toplaminin gerceklesmelerinin bir histogramini kurarsak histogrami sekillendiren dikdortgenlerin yukari yuzlerinin merkezlerini birlestiren egri n degerine yakinsalastikca bir Gauss-tipi can egrisine gittikce benzemeye baslar. Basit sadece iki deger alan bir ayrik degiskeni iceren binom dagilimi gosterdigi simule edilen bir halde bile bu merkezi limit teoremi uygulandigi gorulebilir. Büyük sayılar yasasına ilişkisi Hem büyük sayılar yasası hem de Merkzi Limit Teoremi daha genel bir problemin kismi cozumleri olmalarai cok olasidir. Bu genel problem soyle ifade edilebilir: "Eger n sosuz degerre yakinsamaktaysa Sn ifadesinin yakinsama davranisi ne olur?". Matematik analizde bu cesit sorulara yaklasmak icin en populer matematik arac asimtotik seriler konumuna dayanir. f(n) fonsksiyonunun asimtotik genisletilmesin su oldugunu kabul edelim: Bu ifadenin her iki tarafini da ile bolersek ve limit alirsak en f(n) fonksiyonunun en bastaki terimin degisme haddini temsil eden genisletilmenin en yuksek-siradaki katsayisi olan a1 ifadesini uretiriz: Formel olmadan bu soyle aciklanabilir: "fonksiyon ile onu yyakalsik olarak ifadenin arasindaki fark haddinde buyur". Bu kavramin ana sonucu soyledir: fonksiyonu uygun bir yaklasik veren normalize eden fonksiyonlar ile bolersek ve bu sonucun limitteki davranisina bakarsak bu netice orijinal fonksiyonun limitteki davranisi hakkinda epeyce cok aciklama yapar. Sn ifadesinin klasik olasilik teoride incelenmesinde de ayni usulk aciklama yapilmaktadir. Belirli duzenleme kosullari altinda egere ξ ifadesi N(0σ2) olarak dagilim gosterirse hem Buyuk Sayilar Yasasi yani hem de Merkezi Limit Teoremi yani su formel olmayan ifadenin ilk iki sabitlerinin degerelerini vereiler: Eger X1 X2 X3 ... bagimsiz ve ozdes ifadeler ise ve belli bir ifadesi gecerli ise o zaman olur ve boylece sifir olmayan limitleyici davranisi temin eden bir normalize etme fonksiyonu hizmetini goren n nin en yuksek ussu olur. "Takrarlanan logaritma yasasi" ise cok ilgi cekici olarak normalize edici fonksiyonun Buyuk Sayilar Yasasi icin n ile Merkezi Limit Teoremi icin ifadeleri arasinda oldugunu bildirir ve bu iki teorem ifadesi de bu degerin iki tarafinda bulunan limitleri gosterir demektedir.

< - Bakimliyiz.Com Bilgilendirme - >

Değişiklikleri göz ardı et

Hızlı Cevap

Merkez Limit Teoremi konu anlatımı

Benzer Konular