![]() | #1 (permalink) |
| ![]() Merkez Limit Teoremi konu anlatımı-Merkez Limit Teoremi hakkında bilgi Merkezi limit teoremine göre büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenler (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss-tipi dağılım ve çan şekilli dağılım) gösterir. Matemetik biçimsel bir ifade ile ![]() ![]() Pratik gerçekte birçok anakütle ![]() ![]() Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu ![]() Lyapunov koşulu ![]() Tarihçe Tijms (2004 ![]() Merkezi limit teoreminin tarihi gelişmesi çok enterasandır. Bu teoremin ilk şekli Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından 1733'te yayınlanarak gayet dikkati çeken bir yazıda bulunmakta ve bu yazıda bir yansız madeni paranın yazı-tura atış sonuçların da kaç defa yazı gelme sayısının dağılımının bir normal dağılım ile yaklaşık olarak açıklanabileceğini ortaya çıkartmıştır. Bu gelişme zamanı için çok zor görünüp nerdeyse unutulmuştur. Bu unutulmuş konu tanınmış Fransız matematikçisi Pierre-Simon Laplace'ın 1812'de yayınladığı çok tanınmış eseri Thoerie Analytique des Probabilites (Olasılıklar İçin Analitik Kuram)'da yeniden ortaya çıkarılmıştır; Laplace ![]() ![]() ![]() Klasik merkezi limit teoremi Merkezi limit teoremi olasılık kuramı için ikinci temel teorem olarak kabul edilmektedir. (Birinci temel teorem büyük sayılar yasasıdır.) Eğer X1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Rassal değişkenlerin Sn ile ifade edilen toplamı şöyle verilsin: Sn = X1 + ... + Xn ve ![]() bir standart normal μ ortalamalı ve ![]() Bu yakınsama teoremine göre limitte n-->∞ ![]() ![]() Bu demektir ki; eğer Φ(z) N(0 ![]() ![]() veya ![]() olur. Burada ![]() örneklem ortalaması olur. Yillarca ![]() Merkezi limit teoreminin ispatı Olasılık kuramı ve istatistik bilimleri için temel onem taşıyan bu "merkezi limit teoremi"'nin isbatı karakteristik fonksiyonu kullanarak kolayca yapılabilir. Bu isbat zayif büyük sayılar yasasını isbat etmek icin kullanılan yonteme çok benzemektedir. Herhangi ![]() ![]() ![]() Burada t2 ifadesinden daha hızla 0a yaklaşan herhangi bir t için :o (t2 ) --> 0 olur. YiXi standardize edilmiş degeri yani (Xi − μ)/σ olarak koyalım. Bu halde X1 ![]() ![]() ![]() ![]() olur. Karekteristik fonksiyonun basit nitekliklerine dayanarak ![]() ![]() oldugu çıkartılır. Bu limit ise acıkca N(0 ![]() ![]() Limite yakınsalama Eger uçuncu merkezsel moment E((X1 − μ)3) bulunuyorsa ve sonlu ise ![]() Bir dagilimin toplama ile "duzgunlestirilmesi" için grafikler orijinal olasilik dagilim fonksiyonu ve diger uc (dagilim fonksiyonlarin konvolusyonu ile elde edilen) toplama için su grafiklerde gorulur: ![]() ![]() ![]() ![]() Merkezi limit teoreminin bir grafiksel temsili bir anakutlenin rassal ortalamalarinin grafigi ile gosterilebilir. Bir An alalim ve bu bir rassal orneklem icin orneklem ortalamasi ve herbir orneklemden tek bir rassal degisken de Xn olsun: An = (X1 + ... + Xn) / n 1den verilen bir orneklem hacmine kadar An ifadesini bulalim A1 = (X1) / 1 A2 = (X1 + X2)/ 2 A3 = (X1 + X2 + X3)/3 Merkezi limit teoremi için ortalamalari orneklem hacmi 90a kadar yani 30 nokta olarak gosterilmesi gerekir. Eger An Zn = (An − μ) / (σ / n½) kullanılarak standartize edilirse ![]() Merkezi Limit teoremi sonlu sayıda gozlemler için bir tahmin olarak kullanılmasi gerek bu sayılar normal dagılımın zirvesi etrafında toplanırsa iyi sonuçdur; dagılımın kuyruklarında olan gozlemler icin bu tahminin yeterince dogru olması icin cok sayıda gozlem elde edilmesi gerekir. Merkezi Limit Teoremi ozellikle bagımsız ve aynen dagılım gosteren ayrık rassal degiskenler için uygulanır. Ayrık rassal degisken icin bir toplama ile elede edilen degerde bir ayrık rassal degiskendir ve boylece bir seri ayrık rassal degisken icin tek tek yigmalı olasılık dagılım fonksiyonu bir surekli degisken için bir yıgmalı olasılık dagılım fonksiyonua (yani normal dagılıma) yakınsalasır. Bu demektir ki eger n sayida bagimsiz ve ozdes ayrik degiskenlerin toplaminin gerceklesmelerinin bir histogramini kurarsak ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Büyük sayılar yasasına ilişkisi Hem büyük sayılar yasası hem de Merkzi Limit Teoremi daha genel bir problemin kismi cozumleri olmalarai cok olasidir. Bu genel problem soyle ifade edilebilir: "Eger n sosuz degerre yakinsamaktaysa Sn ifadesinin yakinsama davranisi ne olur?". Matematik analizde bu cesit sorulara yaklasmak icin en populer matematik arac asimtotik seriler konumuna dayanir. f(n) fonsksiyonunun asimtotik genisletilmesin su oldugunu kabul edelim: Bu ifadenin her iki tarafini da ![]() ![]() ![]() ![]() Formel olmadan bu soyle aciklanabilir: "fonksiyon ile onu yyakalsik olarak ifadenin arasindaki fark ![]() ![]() Sn ifadesinin klasik olasilik teoride incelenmesinde de ayni usulk aciklama yapilmaktadir. Belirli duzenleme kosullari altinda ![]() ![]() ![]() ![]() hem de Merkezi Limit Teoremi yani ![]() su formel olmayan ifadenin ilk iki sabitlerinin degerelerini vereiler: ![]() Eger X1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() olur ve boylece ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Seçenekler | |
Stil | |
Merkez Limit Teoremi konu anlatımı konusu, GENEL KÜLTÜR / Eğitim ve Öğretim forumunda tartışılıyor.
| ||||
Konu | Konuyu Başlatan | Forum | Cevap | Son Mesaj |
Ses konu anlatımı | ebush | Eğitim ve Öğretim | 0 | 22-05-2013 08:43 |
Pisagor teoremi konu anlatımı | ebush | Eğitim ve Öğretim | 0 | 18-05-2013 03:19 |
İvme konu anlatımı-Hız değişimi konu anlatımı | ebush | Eğitim ve Öğretim | 0 | 17-05-2013 11:34 |
Çekim ekleri konu anlatımı-Yapım ekleri konu anlatımı | ebush | Eğitim ve Öğretim | 0 | 13-05-2013 11:22 |
Açıortay Teoremi Konu Anlatımı | elif | Matematik | 0 | 11-02-2012 02:42 |