bakimliyiz
Sponsor Reklamlar
Geri git   Bakimliyiz.Com > GENEL KÜLTÜR > Eğitim ve Öğretim

Kadın Portalı Kayıt Ol İletişim Forumları Okundu Kabul Et
Alt 15-06-2011, 06:04   #1 (permalink)
 
elif - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Standart O.b.e.b. - o.k.e.k. Nedir?

O.b.e.b. - o.k.e.k. Nedir?


ASAL SAYILAR

Asal sayılar 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi
{ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 ... }
dir.
Fermat Teoremi' ne göre n asal sayı olmak üzere 2n - 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin
22 - 1 23 - 1 25 - 1 27 - 1 211 - 1 ...
sayıları asal sayıdır.

Aralarında asal sayılar:
1' den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen 2 ortak bölenleri olduğu için aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa bu iki sayının çarpımına da bölünür.
Örneğin
• 2 9
• 10 81
• 5 29
• 3 8
• 2 10 35
sayı grupları ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır.
Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü 10 sayısının 1 ve kendisinden başka 2 ile 5 böleni vardır. Buradan asal olmayan 10 sayısı birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani bileşik bir sayı asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Örnek 1:
Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır?
a) 4 20 b) 6 21 c) 27 36 39 d) 8 24 36 e) 3 5 25

Çözüm:
a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4' tür.
b) 6 ile 21' in ortak böleni vardır ve bu da 3' tür.
c) 27 36 ve 39' un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3' tür.
d) 8 24 ve 36' nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4' tür.
e) 3 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü bu üç sayıyı birden bölen 1' den başka sayı yoktur. Dolayısıyla bu sayılar aralarında asaldır.

Örnek 2:
2m + 3 ile 7n - 5 sayıları aralarında asal olduğuna göre

ise m ve n kaçtır?

Çözüm:

2m + 3 ile 7n - 5 aralarında asal olduklarına göre
2m + 3 = 5
2m = 5 - 3
2m = 2
m = 1

7n - 5 = 9
7n = 9 + 5
7n = 14
n = 2
bulunur.

Örnek 3:
a b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

Toplamın en küçük olması için sayıları en küçük almalıyız. Buna göre ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla
ab + bc = 21 + 13 = 34
olur.

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre

ise 3x + 2y toplamı kaçtır?

Çözüm:

2x + y ile 4x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre her ikisinin de ortak böleni olmaması gerektiğinden eşitliğin sağ tarafı ortak bölenden arındırılmalıdır. Dolayısıyla

olur ve buradan
2x + y = 7 ... (1)
4x + y = 9 ... (2)
yazılır. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için (1) nolu denklemi - 1 ile çarpalım ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalım.
- 1 / 2x + y = 7
4x + y = 9
- 2x - y = - 7
4x + y = 9
Son iki denklemin toplamı
2x = 2
x = 1
bulunur ve x = 1 değerini (1) nolu denklemde yerine koyalım
2.1 + y = 7
y = 7 - 2
y = 5
bulunur. Buradan
3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13
olur.

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bileşik sayı asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır.

Örnek 1:

24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

120 = 23 . 31. 51

Örnek 2:
500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

500 = 22 . 53
BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a b ve c olmak üzere
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı
( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )
dir. Bu sayıya 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.
Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a b ve c olmak üzere
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı
2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )
dir. Yani A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a b ve c olmak üzere
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı

dir. Bu toplama 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise sıfırdır.
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a b ve c olmak üzere
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı

dir. Üssün A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 1:

120 sayısının
a) Kaç tane pozitif böleni vardır?
b) Kaç tane tamsayı böleni vardır?
c) Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?
d) Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır?

Çözüm:

a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli
120 = 23 . 31. 51
olduğundan pozitif bölenlerinin sayısı
( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16
dır.

b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre
2 . 16 = 32
dir.

c) 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı

dir.
d) 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı

Örnek 2:
500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa y kaçtır?

Çözüm:
500 . 5y = 22 . 53 . 5y
= 22 . 53 + y
2 tane asal böleni olduğundan tüm bölenlerinin sayısı
40 + 2 = 42
dir. Buradan pozitif bölenlerinin sayısı tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan
21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 )
21 = 3 . ( 4 + x )
21 = 12 + 3x
3x = 21 - 12
3x = 9
x = 3
olur.

OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)

OBEB iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB' ini bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.

1. Aralarında asal iki sayının OBEB' i 1' dir. Yani a ile b aralarında asal iki sayı ise
(a b)OBEB = 1 dir.

2. Aynı zamanda ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların OBEB' i 1' dir. Yani a b c d e sayılarından a ile b aralarında asal ise
(a b c d e)OBEB = 1 dir.

3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı OBEB' inin bölenlerinin sayısına eşittir.

4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB' i 1' dir. Yani a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere
(a b)OKEK = 1 dir.

Örnek 1:

18 30 42 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:
1. Yol:


18 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla
(18 30 42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır.

2. Yol:
18 = 2.32
30 = 2.3.5
42 = 2.3.7
Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla
(18 30 42)OBEB = 2.3 = 6 dır.

Örnek 2:

100 ile 120 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:
1. Yol:


100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir. Dolayısıyla
(100 120)OBEB = 22 . 5 = 4 . 5 = 20 dir.

2. Yol:

100 = 22.52
120 = 23.3.5
Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla
(100 120)OBEB = 22.5 = 20 dir.

Örnek 3:

6 15 ve 29 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise bu sayıların OBEB' i 1 olduğundan verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için
(6 15 29)OBEB = 1
dir.

Örnek 4:

100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

(100 120)OBEB = 22.51 = 20
olduğundan pozitif bölenlerinin sayısı
( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6
bulunur. Buradan tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan
2 . 6 = 12 olur.

Örnek 5:

Boyutları 9 cm 12 cm 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden 9 cm 12 cm 15 cm sayılarının OBEB' i bulunmalıdır. Bu nedenle
(9 12 15)OBEB = 3 tür. Böylece en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60
tane olur.

Örnek 6:

Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?

Çözüm:

İki ağacın arasındaki uzaklık dikdörtgenin boyutlarının OBEB' i olur. Dolayısıyla
(24 60)OBEB = 12
Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14
dir.

OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)

İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.

1. Aralarında asal sayıların OKEK' i bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise
(a b)OKEK = a . b dir.

2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani a ve b doğal sayısı için
a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB dir.

3. a b c d sayma sayıları olmak üzere
(a/cb/d)OKEK = (a b)OKEK / (c d)OBEB dir.

4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere
(a b)OKEK = x ve (a b)OBEB = y
ise a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + y dir.

5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere
(a b)OKEK = a . b dir.

6. a ile b sayma sayıları olmak üzere a < b ise
(a b)OBEB <= a <= b <= (a b)OKEK dir.

Örnek 1:

18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz.

Çözüm:

1. Yol:


18 = 2 . 32
45 = 32 . 5
olduğundan (18 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur.

2. Yol:

(18 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır.

Örnek 2:

a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise diğer sayı kaçtır?

Çözüm:

a = 16 olsun. (16 b)OKEK = 48 ve (16 b)OBEB = 8 olduğuna göre
a . b = (a b)OKEK . (a b)OBEB
16 . b = 48 . 8
b = 24
bulunur.

Örnek 3:

Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna göre bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?

Çözüm:

İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden
120 + 8 = 128 dir.

Örnek 4:

Boyutları 2 cm 4 cm 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden 2 cm 4 cm 6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle
(2 4 6)OKEK = 12 tür. Böylece en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36
tane olur.

Örnek 5:

a b c asal sayılar olmak üzere
x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2
ise (x y)OBEB = ? ve (x y)OKEK = ? bulunuz.

Çözüm:

(x y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2
(x y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur.

Örnek 6:

Ayşe toplarını 2' şer 2' şer 4' er 4' er 6' şar 6' şar sayarsa her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu vardır?

Çözüm:

Top sayısı = (2 4 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.

Örnek 7:

2 3 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?

Çözüm:

[(2 3 4)OKEK] . k + 1 <= 99
24 . k + 1 <= 99
k = 4 olur. Buradan sayı
24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97
bulunur.

Örnek 8:

İki yangın sireni 5/7 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?

Çözüm:

Yangın sirenleri 5/7 7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla
(5/7 7/8)OKEK = (5 7)OKEK / (7 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat
sonra tekrar alarm verirler. O halde Cumartesi günü saat 15.00' de tekrar alarm vereceklerdir.

Örnek 9:

Bir a doğal sayısı 5/3 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?

Çözüm:

5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde
(5/3 6)OKEK = (5 6)OKEK / (3 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.

Örnek 10:

OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?

Çözüm:

(a b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre
a = 7 ve b = 7
alınabilir. Bu durumda a ile b' nin toplamının en büyük değeri
a + b = 7 + 7 = 14 ... (1)
olur. Diğer taraftan
a = 1 ve b = 7 alınırsa a ile b' nin toplamının en küçük değeri
a + b = 1 +7 = 8 ... (2)
olur. Buradan (1) ile (2) nin çarpımı
14 . 8 = 112
bulunur...



Konu elif tarafından (12-11-2015 Saat 08:43 ) değiştirilmiştir..
elif isimli Üye şimdilik offline konumundadır  





Hızlı Cevap

Doğrulama Sorusu
Mesajınız:
Yazı şeklini sil
Kalın
Eğik yazı
Altı çizik

Grafik ekle
Alıntı yap [QUOTE]
 
Alanı Küçült
Alanı Büyült

Seçenekler
Stil


O.b.e.b. - o.k.e.k. Nedir?

O.b.e.b. - o.k.e.k. Nedir? konusu, GENEL KÜLTÜR / Eğitim ve Öğretim forumunda tartışılıyor.


Konu etiketleri: obeb okek, obeb okek nedir, obeb nedir, okek nedir, okek obeb, obeb ve okek nedir, obeb ne demek, okek obeb nedir, obeb ve okek, obeb okek ne demek, okek ne demek, okek ve obeb nedir, obeb okek tanımı, obeb ne, okek ne demektir,

Benzer Konular

Konu Konuyu Başlatan Forum Cevap Son Mesaj
Esrar Nedir? - Özellikleri Nelerdir? - Kullanımı Nasıldır? - Zararları Nedir? elif Sağlığımız 16 27-01-2017 03:34
Dilin İşlevi Nedir?-Toplumdaki Önemi Nedir? elif Türkçe ve Edebiyat 1 29-11-2012 06:12
Mesane Nedir? - Mesanenin Vücuttaki Görevi Nedir? elif Sağlığımız 0 03-05-2011 01:54
GDO Nedir (Genetiği Değiştirilmiş Organizmalar) Nedir? / Hakkında elif Sağlığımız 0 01-05-2011 04:51
Masal Nedir?,Halk Hikayesi Nedir?,Manzum Hikaye Nedir? elif Türkçe ve Edebiyat 0 09-02-2011 02:52

Üye olmadan soru sorabilirsiniz!

Bütün Zaman Ayarları WEZ +4 olarak düzenlenmiştir. Saat şuan 08:54 .


Powered by vBulletin® Version 3.8.7
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.5.2 ©2010, Crawlability, Inc.
Web Stats