bakimliyiz
Sponsor Reklamlar
Geri git   Bakimliyiz.Com > Bakimliyiz.com Özel > LakLak Bölümü > Soru Cevap

Kadın Portalı Kayıt Ol İletişim Forumları Okundu Kabul Et
Alt 11-03-2013, 09:02   #1 (permalink)
 
elif - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Standart Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında

Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında



Bir çemberin çapı 1 olduğunda çevresi Pi'ye eşittir. Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf aynı zamanda Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler 1737 yılında yayınladığı eserinde daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda bu sembolü kullandı. Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da bu sembol kullanılmıştır. Ancak Leonard Euler'den sonra gelen tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.
Ayrıca doğal logaritmanın tabanı olan 2 71828... sayısı için L. Euler'in kullandığı e harfi sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış benimsenmiştir. Gene karekök içinde -1 imajineri için de L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir.
Peki Pi Sayısını Kim bulmuştur?

Pi'yi Nasıl Hesaplarız ?

Doğum Gününüzün Pi nin İçinde Olduğunu Biliyor Muydunuz?

Pi Sayısının 1 000 000 rakamı..

Kaynaklar pi sayısı için ilk gerçek değerin Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3142 ve 31408 dir. Bu iki değer pi sayısının bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes'in gençlik yıllarında Mısır'da uzun bir süre öğrenim gördüğünü hesaba katarsak Babilliler'in çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı adı geçen eserinde "Mezopotamyalılar'da idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur" der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.
Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar'ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar yamuk alanı hesabı ile silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup Susa'da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3125 olduğu anlaşılmaktadır.

Pi'yi Nasıl Hesaplarız

Tahmin edebileceğiniz gibi artık Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin-11= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında/2 ve cos-10= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş.
Ancak sizin burada sorduğunuz sorunun bu hesabın daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum.
Bir dairede dairenin alanı ile çap arasında ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede şöyle deniliyor: "Çapın 1/9'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır." Burada dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x2=64.(4r2)/81 olacağına göre bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde 256r2/81= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar2 veya Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=256/81=316005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan söz konusu karenin çevresi L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak L=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar eşitliğinden 64r/9=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar veya Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=32/9=355555 elde ederiz. Bu yaklaştırma alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz ancak kendimiz bu hesabı yaparsak Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı Eski Mısırlıların çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=316049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında jsayısının ilk 5 basamağının 314159 olduğunu hatırlarsak Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının daha M.Ö. 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek'ler döneminde Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Açalım:


Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında
Şekil'de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş. Bu kareyi daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz. ABC üçgeni ikizkenar olduğundan karenin yarım kenar uzunluğu a=r/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2'dir. Bu durumda karenin çevresi L=8a=4 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r alanı A=(2a)²=( Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r)²=2r² olur. Karenin çevresini dairenin çemberine eşitlersek L=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar eşitliğinden 4 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar veya Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2 elde ederiz. Bu yaklaştırma bize Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=2828427 verir. Halbuki karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde A= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar² eşitliğinden 2r²= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında yani Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=2 elde ederiz. Bu yaklaştırma çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü.

Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere bu sefer dairenin içine bir kare yerine eşkenarlı bir sekizgen oturtalım. Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor. Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış. AD uzunluğu r'ye eşit ve a=r/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2 olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2 olduğuna göre BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)=2r²- Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r²=(2- Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)r² olur. O halde BD'nin uzunluğu |BD|=(2- Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)½ r'dir. Sekizgenin çevresi bunun 8 katı yani L=8.(2- Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)½ r'ye eşittir. Bunu dairenin çevresine eşitlersek L= L=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar eşitliğinden 8.(2- Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)½ r = 2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar veya Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=4.(2- Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)½ elde ederiz. Bu yaklaştırma bize Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=306146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi.

Öte yandan BCD üçgeninin alanı a.b/2= (r/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2).(r-r/ Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2)/2=r²/2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2- r²/4 olur. Sekizgenin alanını elde etmek için karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2- r²/4)= 2r²+2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r²- 2r²=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek A= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkındar² eşitliğinden 2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2r²= Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında yani Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında=2 Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında2=2828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi bu yaklaştırma çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç. Demek ki herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesi alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi. Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun.

Bir sonraki yaklaştırma aşamasına dairenin içindeki eşkenar sekizgen bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir.

Ancak. Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan "o sabit sayı"dan bahsediliyordu. Düzgün çokgenlerle köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere açıktır. Ancak unutulmamalı ki MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10'lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok.

Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var. İlave edeceğimiz tek şey sıra kendisine geldiğinde Arşimed'in alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında 'yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır.

Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 314159... hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ung-chih ve oğlu Tsu Keng-chih'dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında'nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz.

Evet örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında'ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda.

Bu arada "o sabit sayı"ya Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında adını 1650'lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte standard kullanım haline gelmesi 1737'de Euler'in Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında'yi benimsemesinden sonra olmuştur.
pi kronolojisi

Doğum Gününüz Pi'de Gizli
Bilindiği gibi Pi sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi hemen tahmin edebileceğiniz üzere sonsuz eleman taşımakla kalmaz aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda bunun pi'nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi pi'nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız artar. Eğer Pi'nin hangi basamaklarına gizlenmiş olduğunuzu merak ediyorsanız The Pi-Search Page sitesini bir ziyaret edin!
Aynı şekilde istediğiniz başka dizileri pi'nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki Pi'nin bilinen basamakları 1.2 trilyon civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan bulmak kolay değil.
http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html adresinde ilginç gözlemler bulabilirsiniz. Örneğin
ilk 1 milyon basamak içinde birçok şeyin yanında şunlar gözlenebiliyor:
0123 - 102 kere
01234 - 8 kere
012345 - 2 kere
0123456-0 kere .


elif isimli Üye şimdilik offline konumundadır  





Hızlı Cevap

Doğrulama Sorusu
Mesajınız:
Yazı şeklini sil
Kalın
Eğik yazı
Altı çizik

Grafik ekle
Alıntı yap [QUOTE]
 
Alanı Küçült
Alanı Büyült

Seçenekler
Stil


Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında

Pi sayısı nedir?-Pi sayısı hakkında konusu, LakLak Bölümü / Soru Cevap forumunda tartışılıyor.


Konu etiketleri: pi sayısı ile ilgili sorular, pi sayısı ile ilgili sorular ve cevapları, pi sayısı nedir, pii sayısı ile ilgili soru cevaplar, pi sayısı ile ilgili örnekler, pi sayısı soruları ve cevapları, pi sayısı ile ilgili soru cevaplar, pi sayısı ile ilgili problemler, pi say305s305 ile ilgili sorular, pi sayisi ile ilgili örnekler, pi sayısı ile ilgili soru ve cevapları, pi ile ilgili örnekler, pi sayısı örnek sorular, pi sayisi ile ilgili sorular, pi sayısı ile ilgili soru ve cevabı,

Benzer Konular

Konu Konuyu Başlatan Forum Cevap Son Mesaj
Proton Sayısı Nedir? - Proton Sayısı Nasıl Bulunur elif Soru Cevap 1 28-12-2013 01:34
İşlemci Çekirdek Sayısı Nedir elif Soru Cevap 0 07-02-2013 07:04
pi sayısı nedir ? yalma Soru Cevap 1 21-02-2012 09:42
Avogadro Sayısı Nedir? elif Eğitim ve Öğretim 0 15-06-2011 04:49
e Sayısı Nedir? elif Eğitim ve Öğretim 0 15-06-2011 01:35

Üye olmadan soru sorabilirsiniz!

Bütün Zaman Ayarları WEZ +4 olarak düzenlenmiştir. Saat şuan 07:43 .


Powered by vBulletin® Version 3.8.7
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.5.2 ©2010, Crawlability, Inc.
Web Stats